Maturità/ Le soluzioni di matematica

Liceo scientifico/ I quesiti:

QUESITO n.1
Un polinomio di grado n può essere scritto nella forma:
pn(x) = an * xn + an-1 * xn-1 + … + a2 * x2 + a1 * x + a0
Per derivare il polinomio, poiché l’azione di derivazione è lineare, è sufficiente allinearla ad ogni addendo ai * xi. Osservando il primo termine an * xn, avremo:
p’ n(x) = n * an * xn-1
La derivata seconda sarà:
p’’ n(x) = n(n-1) * an * xn-2
E così via. Osserviamo che il coefficiente an viene moltiplicato per il fattore n * (n-1) * (n-2) * … Ma questa è proprio l’espressione del fattoriale: n!

QUESITO n.2:
“siano ABC un triangolo rettangolo in A, r la retta perpendicolare in B al piano del triangolo e P un punto di r distinto da B . Si dimostri ke i tre triangoli PAB,PBC,PCA sono triangoli rettangoli.”

QUESITO n.4:

“Si calcoli lim con x ->infinito di 4xsin1/x”
QUESITO n.5:
“Sia G il grafico di una funzione x –> f(x) con x appartenente a R. Si illustri in che modo è possibile stabilire se G è simmetrico rispetto alla retta x = k”

2) I due triangoli avranno saranno rettangoli del tipo 30-60-90, il lato BC sarà per il primo radice di 5, per il secondo radice di 13

QUESITO n.10:
“Si consideri la regione delimitata da y=radicalx , dall’asse x e dalla retta x=4 e si calcoli il volume del solido che essa genera ruotando di un giro completo intorno all’asse y.”

Le soluzioni:

QUESITO n.1
Un polinomio di grado n può essere scritto nella forma:
pn(x) = an * xn + an-1 * xn-1 + … + a2 * x2 + a1 * x + a0
Per derivare il polinomio, poiché l’azione di derivazione è lineare, è sufficiente allinearla ad ogni addendo ai * xi. Osservando il primo termine an * xn, avremo:
p’ n(x) = n * an * xn-1
La derivata seconda sarà:
p’’ n(x) = n(n-1) * an * xn-2
E così via. Osserviamo che il coefficiente an viene moltiplicato per il fattore n * (n-1) * (n-2) * … Ma questa è proprio l’espressione del fattoriale: n!

Soluzione quesito n.2:
Dimostro che i 3 triangoli sono rettangoli con la definizione della retta r.
La retta giace perpendicolare al piano del triangolo ABC,è evidente che l’angolo formato dalla retta medesima con qualsiasi segmento giacente nel piano ABC sarà di 90°. Avremo quindi il triangolo PAB rettangolo in B e PBC rettangolo in B. Il triangolo PCA sarà rettangolo in A, infatti è ottenuto dal triangolo ABC mediante omotetia lungo l’asse AB.

Soluzione quesito n.5: 80/3

Soluzione quesito n.9:
1) ) NON esiste. se aBc = 45° e ABC è rettangolo, esso avrebbe il terzo angolo = 180- (90+45) = 45°. Il triangolo, avente quindi 2 angoli alla base congruenti, sarebbe isoscele. Usando pitagora si avrebbe per cui che la radice 2^2 + 2^2 = 3, il che è errato. 2) I due triangoli avranno saranno rettangoli del tipo 30-60-90, il lato BC sarà per il primo radice di 5, per il secondo radice di 13

SOLUZIONE PROBLEMA n°1: